如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点E作交线段CD于点F．

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，过点E作 $\text{[math]}$ 交线段CD于点F．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 正方形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ．

①如图1，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 的长为_______________；

②如图2，若 $\text{[math]}$ 三点在同一直线上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图3，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点时，此时点 $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 内部，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. （1）如图1，已知正方形纸片 $\text{[math]}$ ，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形 $\text{[math]}$ 的内部，点B的对应点为点M，折痕为 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）如图2，将正方形纸片沿 $\text{[math]}$ 继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕 $\text{[math]}$ 上，则

① $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ ；

（3）如图3，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E、F 分别在边 $\text{[math]}$ 上，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

3. 如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场 $\text{[math]}$ ，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场 $\text{[math]}$ 的多少倍？

解答题普通