图1为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米时，拱顶离水面的距离为米．当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在桥底P，Q两处设置航行警戒线，要求：①游船底部HI在点P，Q之间通行；②载重最少时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．若以所在直线为轴，点D为原点建立直角坐标系，请解答以下问题：

1. 图1为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度 $\text{[math]}$ 米时，拱顶离水面的距离为 $\text{[math]}$ 米．

当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形 $\text{[math]}$ ，船顶为等腰三角形 $\text{[math]}$ ．测得相关数据如下： $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．为确保安全，拟在桥底P，Q两处设置航行警戒线，要求：

①游船底部HI在点P，Q之间通行；

②载重最少时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．若以 $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴，点D为原点建立直角坐标系，请解答以下问题：

(1) 求这条抛物线的函数表达式；

(2) 求警戒线之间宽度 $\text{[math]}$ 的最大值．（当 $\text{[math]}$ 最大时，船身H与P重合，或I与Q重合）

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理; 二次函数的实际应用-拱桥问题;

【答案】

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综合题普通

1. 通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与时间 $\text{[math]}$ （单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 近似满足函数关系 $\text{[math]}$ ，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 的几组对应值：

$\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

(1) 求这位患者第一次服用该药后的血药浓度 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 满足的函数关系；

(2) 这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为 $\text{[math]}$ 小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由；

②当该药的血药浓度不低于 $\text{[math]}$ 时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题困难

2. 北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ．如果她从点 $\text{[math]}$ 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度 $\text{[math]}$ （单位：米）与水平距离 $\text{[math]}$ （单位：米）近似满足函数关系式 $\text{[math]}$ ．

(1) 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：

水平距离 $\text{[math]}$	0	4	h	5	5.5
竖直高度 $\text{[math]}$	10	10	11.25	10	6.25

根据上述数据，求出y与x的函数关系式；

(2) 比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 $\text{[math]}$ 设她平时训练时入水点与原点的水平距离为 $\text{[math]}$ 比赛当天入水点与原点的水平距离为 $\text{[math]}$ ，请通过计算比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；

(3) 在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的 $\text{[math]}$ （向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 之间近似满足 $\text{[math]}$ 且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成 $\text{[math]}$ 动作．若此次跳水她的竖直高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 求她在达到最高点后能顺利完成 $\text{[math]}$ 动作的a的取值范围．

综合题困难

3. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．

如何设计大棚苗木种植方案？

【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面 $\text{[math]}$ ．

【素材2】种植苗木时，每棵苗木高 $\text{[math]}$ ．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔 $\text{[math]}$ ，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）

【解决问题】

(1) 大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；

(2) 探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即 $\text{[math]}$ ），确定种植点的横坐标x的取值范围；

(3) 拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．

综合题普通