桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索．（参考数据：，，，最后结果精确到0.01米）

1. 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的张角为 $\text{[math]}$ ，为保证安全， $\text{[math]}$ 的调整范围是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为固定张角 $\text{[math]}$ 大小的绳索．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，最后结果精确到0.01米）

(1) 求绳索 $\text{[math]}$ 长的最大值．

(2) 若 $\text{[math]}$ 时，求桑梯顶端D到地面 $\text{[math]}$ 的距离．

【考点】

等腰三角形的性质; 等边三角形的判定与性质; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 所在直线的距离 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；停止位置示意图如图3，此时测得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，且直线 $\text{[math]}$ 与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求物体上升的高度 $\text{[math]}$ （结果保留根号）．

综合题普通

2. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背 $\text{[math]}$ ，将椅背角度从 $\text{[math]}$ 调节到 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，分别过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求水平方向增加的距离 $\text{[math]}$ 长．（结果精确到 $\text{[math]}$ ；参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

综合题普通

3. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆 $\text{[math]}$ 垂直于地面，其高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为支杆，它可绕点 $\text{[math]}$ 旋转，其中 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $\text{[math]}$ 的长度．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

(1) 如图2，当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 时，且支杆 $\text{[math]}$ 与立杆 $\text{[math]}$ 之间的夹角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求端点 $\text{[math]}$ 距离地面的高度；

(2) 调节支杆 $\text{[math]}$ ，悬杆 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图3所示，且点 $\text{[math]}$ 到地面的距离为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．（结果精确到 $\text{[math]}$ ）

综合题普通