我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：

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1. 我们知道，在数轴上 $\text{[math]}$ 表示数 $\text{[math]}$ 到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别用数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示，那么 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点之间的距离为： $\text{[math]}$ ．例如，点 $\text{[math]}$ 表示的数是2，点 $\text{[math]}$ 表示的数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点之间的距离为： $\text{[math]}$ ．利用此结论，回答以下问题：

(1) ① $\text{[math]}$ 表示：______；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

(2) 结合数轴，求得 $\text{[math]}$ 的最小值为______；

(3) 如图，在数轴上有三个不同的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其对应的数分别为 $\text{[math]}$ ， 6，10．若点 $\text{[math]}$ 为数轴上的一个动点，当点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的距离之和等于点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 距离的2.5倍时，请求出此时点 $\text{[math]}$ 所对应的数．

【考点】

一元一次方程的实际应用-几何问题; 数轴上两点之间的距离; 绝对值的概念与意义;

【答案】

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解答题困难

1. 已知A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，用符号“ $\text{[math]}$ ”表示A、B两点的距离．

[观察归纳]（1）根据表格中的信息，结合图1，请用字母m、n表示A、B两点的距离 $\text{[math]}$ ___________；

[尝试应用]（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C为数轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，求C点表示的数；

[类比创新]（3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P点从A出发以4个单位秒的速度向右运动，同时Q点从B出发以2个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ， M为数轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，问当t为何值时， $\text{[math]}$ 有最小值，并求出这个最小值．

解答题普通

2. 阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 能与点 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 重合），则称点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 径向对称．下图为点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 径向对称的示意图．解答下列问题：如图1，在数轴上，点 $\text{[math]}$ 为原点，点 $\text{[math]}$ 表示的数为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 表示的数为2．

(1) ①点B，C，D表示的数分别为 $\text{[math]}$ ，在B，C，D三点中，______与点 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 径向对称；

②点E表示的数为 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 径向对称，则 $\text{[math]}$ 的最大值是______；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是数轴上一个动点，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 径向对称，线段 $\text{[math]}$ 的最小值是______；

(3) 在数轴上，点A，N，M表示的数分别是 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段 $\text{[math]}$ 同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 径向对称，则点 $\text{[math]}$ 表示的最大数是______，最小数是______．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

解答题困难

3. 【建立概念】如下图，A、B为数轴上不重合的两定点，点P也在该数轴上，我们比较线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段 $\text{[math]}$ 的“靠近距离”.特别地，若线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度相等，则将线段 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 的长度定义为点P到线段 $\text{[math]}$ 的“靠近距离”.

【概念理解】如下图，数轴的原点为O，点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点B表示的数为4.

（1）点O到线段 $\text{[math]}$ 的“靠近距离”为________；

（2）点P表示的数为m，若点P到线段 $\text{[math]}$ 的“靠近距离”为3，则m的值为_________；

【拓展应用】（3）如下图，在数轴上，点P表示的数为 $\text{[math]}$ ，点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点B表示的数为6. 点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动.设移动的时间为 $\text{[math]}$ 秒，当点P到线段 $\text{[math]}$ 的“靠近距离”为3时，求t的值.

解答题普通