如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．

1. 如图所示：多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

【考点】

直线与平面垂直的性质; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 是直角三角形；

(2) 求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值．

解答题普通

2. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形.

(1) 证明： $\text{[math]}$ .

(2) 若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

解答题困难

3. 已知正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 点为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，求当 $\text{[math]}$ 点到直线 $\text{[math]}$ 距离最短时，线段 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题普通