【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．

1. 【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图 $\text{[math]}$ 是一块边长为 $\text{[math]}$ cm的等边三角形学具， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一个动点，由点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，速度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 延长线上一动点，与点 $\text{[math]}$ 同时以相同的速度由点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 延长线方向运动，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 【问题】填空： $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【探究】如图 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 运动过程中，线段 $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若不变，请求出 $\text{[math]}$ 的长度；若变化，请说明理由．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 平行四边形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上匀速移动，它们的速度分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ （用含t的式子表示）， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ；

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 为等边三角形？

(3) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形？请直接写出t的值．

解答题普通

2. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如果点P由B点出发沿 $\text{[math]}$ 方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿 $\text{[math]}$ 方向向点B匀速运动，它们的速度均为 $\text{[math]}$ ，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

(1) 设 $\text{[math]}$ 的面积为S，当P、Q两点同时停止运动时，求出S的值；

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 为等边三角形？

(3) 当t为何值时， $\text{[math]}$ ？

解答题普通

3. 如图所示，已知 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，其中点P运动的速度是 $\text{[math]}$ ，点Q运动的速度是 $\text{[math]}$ ，当点Q到达点C时， $\text{[math]}$ 两点都停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

(1) 当点Q到达点C时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系如何？请说明理由．

(2) 在点P与点Q的运动过程中， $\text{[math]}$ 是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．

(3) t为何值时 $\text{[math]}$ 是直角三角形？

解答题普通