在平面直角坐标系中，将对角线交点为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的切于点，则称点为正方形的“伴随切点”．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，将对角线交点为 $\text{[math]}$ 的正方形记作正方形 $\text{[math]}$ ，对于正方形 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ （不与 $\text{[math]}$ 重合）给出如下定义：若正方形 $\text{[math]}$ 的边上存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与以 $\text{[math]}$ 为半径的 $\text{[math]}$ 切于点 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 的“伴随切点”．

(1) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，正方形 $\text{[math]}$ 的“伴随切点”是________；

$\text{[math]}$ 若直线 $\text{[math]}$ 上存在正方形 $\text{[math]}$ 的“伴随切点”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ．若存在正方形 $\text{[math]}$ 的两个“伴随切点” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为等边三角形，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

垂线段最短及其应用; 勾股定理; 切线的性质; 切线长定理;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知长方形 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某一时刻，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动；同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动，问：

(1) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ？

(2) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的面积等于长方形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？

解答题普通

2. 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．

【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④

【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取 $\text{[math]}$ 的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面 $\text{[math]}$ 与地面距离为 $\text{[math]}$ ，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ $\text{[math]}$ 时可将凳高调整为 $\text{[math]}$ ．

【驱动任务三】

根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长的木棒恰好能截成 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则成品桌子的高度 $\text{[math]}$ 为________ $\text{[math]}$ ．