如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”．

1. 如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上的两点，若直径 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“幸运角”．

(1) 如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“幸运角”吗？请说明理由；

(2) 设 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的“幸运角”度数；

(3) 在（1）的条件下，直径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“幸运角”为 $\text{[math]}$ ．

①如图3，连结 $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长；

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 垂径定理; 圆周角定理;

【答案】

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证明题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ ， AB交 $\text{[math]}$ 于点C，D，OE是半径，且 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．

证明题普通

2. 已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D．

求证：AC=BD．

证明题普通

3. 已知：如图，在⊙O中，弦EF∥CD，直径AB分别交弦CD，EF于点M，N，且A是 $\text{[math]}$ 的中点．

求证：M是弦CD的中点．

证明题普通