已知，，

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1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

(1) 当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值：

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ .

【考点】

对数的性质与运算法则; 换底公式及其推论;

【答案】

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解答题容易

1. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分 $\text{[math]}$ （单位：分）与当天阅读时间 $\text{[math]}$ （单位：分钟）的函数关系，要求如下：

（i）函数的部分图象接近图示；

（ii）每天阅读时间为 $\text{[math]}$ 分钟时，当天得分为 $\text{[math]}$ 分；

（iii）每天阅读时间为 $\text{[math]}$ 分钟时，当天得分为 $\text{[math]}$ 分；

（iiii）每天最多得分不超过 $\text{[math]}$ 分.

现有以下三个函数模型供选择：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ .

(1) 请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；

(2) 根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；

(3) 已知学校要求每天的得分不少于 $\text{[math]}$ 分，求每天至少阅读多少分钟？

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ （a为常数）.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，写出函数 $\text{[math]}$ 的定义域及单调递减区间；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围：

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，

①若 $\text{[math]}$ ，试用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；

②是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有解? 若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最大值，若不存在，请说明理由.

解答题困难

3. 当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立.学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式 $\text{[math]}$ ，带着好奇，他进一步对 $\text{[math]}$ 进行深入研究.

(1) 若正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 除整数对 $\text{[math]}$ ，请再举出一个整数对 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求使得等式 $\text{[math]}$ 成立的正整数对 $\text{[math]}$ .

解答题普通