如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且， .（1）求四棱锥的体积；（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面ABCD，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.

【考点】

锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，AB是圆柱 $\text{[math]}$ 的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B、C重合的任意一点， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ：

（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；

（2）求点B到平面ACD的距离；

（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由 $\text{[math]}$ 旋转而成的封闭几何体的体积；

解答题普通

2. 如图，四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为等边三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

（i）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（ii）当 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角正弦值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为垂足， $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ；直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 体积最大时，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难

3. 在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知向量 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .若平面 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为法向量且经过点 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 的点法式方程可表示为 $\text{[math]}$ ，一般式方程可表示为 $\text{[math]}$ .

(1) 若平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 的交线，求直线 $\text{[math]}$ 的方向向量（写出一个即可）；

(2) 若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为 $\text{[math]}$ ，其中平面 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ ，求出点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 已知集合 $\text{[math]}$ ，记集合 $\text{[math]}$ 中所有点构成的几何体的体积为 $\text{[math]}$ 中所有点构成的几何体的体积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难