如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．

1. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点B，且关于直线 $\text{[math]}$ 对称．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，y的取值范围是 $\text{[math]}$ ，求t的值；

(3) 点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 是坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数）经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是该抛物线上的点，横坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线对应的函数表达式；

(2) 当线段 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴时，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 当线段 $\text{[math]}$ 不与坐标轴平行时，以线段 $\text{[math]}$ 为对角线作矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 轴；

$\text{[math]}$ 若矩形 $\text{[math]}$ 被抛物线对称轴分成 $\text{[math]}$ 两部分，求 $\text{[math]}$ 的值；

$\text{[math]}$ 当抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内部的点的纵坐标 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边．在x轴上方作正方形 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交抛物线于点D，再以 $\text{[math]}$ 为边向上作矩形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．

(1) 求a的值：

(2) 求点F的坐标．

解答题普通

3. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （b、c为常数）与x轴的两个交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是抛物线上一点，其横坐标为m．点Q的坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，y的取值范围是______；

(3) 将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当 $\text{[math]}$ 时，求m的取值范围值；

(4) 连结 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ 为对角线作矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 轴，当抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围值．

解答题困难