在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线 $\text{[math]}$ （a为常数且 $\text{[math]}$ ）与y轴交于点A．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求抛物线的顶点坐标；

(2) 若线段 $\text{[math]}$ （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；

(3) 若抛物线与直线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点，线段 $\text{[math]}$ 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．

【考点】

二次函数图象与系数的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 已经抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．

（1）点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

2. 在平面直角坐标系中，若关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 的图像记为 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 的图像绕着原点旋转 $\text{[math]}$ 得到图像 $\text{[math]}$ ，我们把 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 合起来的总图像称为 $\text{[math]}$ 的“青一对称”图像．

(1) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的“青一对称”图像上，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的“青一对称”图像上，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当二次函数 $\text{[math]}$ 的“青一对称”图像与直线 $\text{[math]}$ 有且只有三个交点时，请求出 $\text{[math]}$ 的值或取值范围．

解答题困难

3. 定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x⩾0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x−1，它们的相关函数为y= $\text{[math]}$ .

(1)已知点A(−5，8)在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上，求a的值；

(2)已知二次函数y=−x $\text{[math]}$ +4x− $\text{[math]}$ .

①当点B(m， $\text{[math]}$ )在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当−3⩽x⩽3时，求函数y=−x $\text{[math]}$ +4x− $\text{[math]}$ 的相关函数的最大值和最小值.

解答题普通