已知在数轴上A、B、C三点对应的数分别为、3、5，点是数轴上任意一点，其对应的数为．

1. 已知在数轴上A、B、C三点对应的数分别为 $\text{[math]}$ 、3、5，点 $\text{[math]}$ 是数轴上任意一点，其对应的数为 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求x的值；

(2) 若点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：在运动过程中， $\text{[math]}$ 的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．

【考点】

整式的加减运算; 数轴上两点之间的距离; 数轴的点常规运动模型;

【答案】

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解答题普通

1. 新定义：一条线段上任意一点与另一条线段上任意一点之间的距离最小值叫做两线段之间的“最佳”距离．如图，数轴上有四个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们对应数轴上的数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 5， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 之间的“最佳”距离是______个单位；

(2) 将线段 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位的速度沿数轴正方向移动．

①若线段 $\text{[math]}$ 保持位置不变，当线段 $\text{[math]}$ 运动多少秒时，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 之间的“最佳”距离为2？

②若线段 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位的速度沿数轴负方向移动，运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 之间的“最佳”距离．

解答题普通

2. 操作发现．

操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为 $\text{[math]}$ 、1，将点A绕点M旋转 $\text{[math]}$ 得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点；

记作： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；

操作二：如图2，已知点M和线段 $\text{[math]}$ ，将点A、M绕同一点旋转 $\text{[math]}$ ，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段 $\text{[math]}$ 的映射点；

记作： $\text{[math]}$ ；如： $\text{[math]}$ ；

(1) 利用图3、图4，直接填空： $\text{[math]}$ ______； $\text{[math]}$ ______；

(2) 若A、B两点所表示的数分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示）

(3) 点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围；

②当点C表示的数是 $\text{[math]}$ 时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值．

解答题困难

3. 如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C表示的数为3，点B与点C之间的距离为2，点A与点B之间的距离为6．

【问题提出】

（1）点A表示的数是______，点B表示的数是______；

【问题探究】

（2）动点P，Q分别同时从点A，C处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点M在点A和点P之间，且点A到点M的距离与点M到点P的距离相等，点N在点C和点Q之间，且点C到点Q之间的距离是点C到点N之间距离的4倍，当运动时间为 $\text{[math]}$ 时，用含t的代数式表示点M，N对应的数；

【问题解决】

（3）在（2）的条件下，点M到点Q之间的距离是否与t的大小有关？若有关，用含t的代数式表示点M到点Q之间的距离；若无关，请求出点M到点Q之间的距离．

解答题普通