已知二次函数（是常数，且）

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数，且 $\text{[math]}$ ）

(1) 证明：不论 $\text{[math]}$ 取何值时，该二次函数图象总与 $\text{[math]}$ 轴有两个交点；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是该二次函数图象上的两个不同点，当 $\text{[math]}$ 时，求二次函数表达式；

(3) 若二次函数图象与 $\text{[math]}$ 轴两个交点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的函数.且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

反比例函数的性质; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题普通

1. 阅读与思考：下面是小明同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．

下面根据抛物线的顶点坐标( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）和一元二次方程根的判别式△=b²-4ac，分a>0和a<0两种情况进行分析：
当a>0时，抛物线开口向上．

①当△=b²-4ac>0时，有4ac-b²<0．

∵a>0，∴顶点纵坐标 $\text{[math]}$ <0，

∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图①)，

∴一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．

②当△=b²-4ac=0时，有4ac-b²=0．

∵a>0，∴顶点纵坐标 $\text{[math]}$ =0，

∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图②)，

∴一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，

③当△=b²-4ac<0……
当a<0时，抛物线开口向下．

……

任务：

(1) 上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是(从下面选项中选出两个即可)

A．数形结合

B．统计思想

C．分类讨论

D．转化思想

(2) 请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，△<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图．

(3) 实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例．

综合题困难

2. 已知反比例函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是；

(2) 若该函数的最大值与最小值的差是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

3. 在反比例函数 $\text{[math]}$ 图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小.

(1) 函数经过哪些象限？

(2) 求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

综合题普通