如图所示，等腰中，，，线段于点D．

1. 如图所示，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 于点D．

(1) 求等腰 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 建立适当的直角坐标系，使其中一个顶点的坐标是 $\text{[math]}$ ，并写出其余两顶点的坐标．

【考点】

坐标与图形性质; 等腰三角形的判定与性质; 勾股定理;

【答案】

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解答题普通

1. 已知，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 的顶点都在坐标轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 如图3，在（2）的条件下，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰直角 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

2. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，将等腰 $\text{[math]}$ 按如图放置，直角顶点 $\text{[math]}$ 在原点，若顶点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处．则 $\text{[math]}$ 的长为______；点 $\text{[math]}$ 的坐标为______（直接写结果）；

（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰 $\text{[math]}$ 按如图放置，直角顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点．当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底的等腰三角形时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）拓展研究：如图3，在（2）的条件下，已知点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一动点，连结 $\text{[math]}$ ，在坐标轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰直角三角形．若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在第二象限，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴垂直， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个动点

(1) 求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 若 $\text{[math]}$ 的面积为15，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为　　　　

(3) 是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难