已知函数是偶函数，当时，．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值，并作出函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的大致图象；

(2) 根据定义证明 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增．

【考点】

分段函数的解析式求法及其图象的作法; 函数单调性的判断与证明; 奇偶函数图象的对称性; 函数的值;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）图象关于 $\text{[math]}$ 对称；

(1) 若当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 恒有意义，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 最小值.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足条件 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 用单调性定义证明：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

3. 如图，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成两部分，记左侧部分的多边形为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 各边长的平方和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 各边长的倒数和为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）分别求函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在该区间上均单调递减？若存在，求 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，说明理由.

解答题困难