如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A ，两点，与x轴交于点B．

1. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且抛物线经过A $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与x轴交于点B．

(1) 若直线 $\text{[math]}$ 经过B，C两点，求直线 $\text{[math]}$ 和抛物线的解析式；

(2) 在抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上找一点M，使 $\text{[math]}$ 的值最小，求点M的坐标；

(3) 设P为抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上的一个动点，求使 $\text{[math]}$ 为直角三角形的点P的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-线段周长问题; 二次函数-特殊三角形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线l： $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点B，且与直线l的另一个交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求n的值和抛物线的解析式．

(2) 已知P是抛物线上位于直线 $\text{[math]}$ 下方的一动点（不与点B，C重合），过P点作 $\text{[math]}$ 垂直于x轴交直线 $\text{[math]}$ 于点F，设点P的横坐标为a．当a为何值时，线段 $\text{[math]}$ 有最大值，求出其最大值及此时点P的坐标．

(3) 在抛物线上是否存在点M，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 综合与探究

如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， E是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点E作直线 $\text{[math]}$ 垂直于x轴交直线 $\text{[math]}$ 和抛物线分别于点D、F．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段 $\text{[math]}$ 有最大值，并写出最大值为多少；

(3) 点P是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，若使三角形 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，求出点P的坐标．

解答题困难

3. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ，并与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，其顶点为 $\text{[math]}$ ，

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 抛物线的对称轴上是否存在一点M，使 $\text{[math]}$ 的周长最小？若存在，求 $\text{[math]}$ 的周长；若不存在，请说明理由；

(3) 抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题普通