在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．

1. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．

(1) 操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 拼成“L”形图案，如图①．

试判断： $\text{[math]}$ 的形状为________．

(2) 深入探究

小红在保持矩形 $\text{[math]}$ 不动的条件下，将矩形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

探究一：当点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，如图②．求 $\text{[math]}$ 的面积．

探究二：连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如图③．

求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值和最小值．

【考点】

矩形的性质; 圆的相关概念; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题困难

1. 综合与实践

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 分别以 $\text{[math]}$ 的速度从点 $\text{[math]}$ 同时出发，点 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时停止，点 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时停止．设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ ____________ $\text{[math]}$ ____________ $\text{[math]}$ ．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

(2) 在（1）的条件下，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 如图2、图3，点 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 的过程中，当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 如图在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OACB的顶点A，B分别在x轴、y轴上，已知 $\text{[math]}$ ，点D为y轴上一点，其坐标为 $\text{[math]}$ ，若连接CD，则 $\text{[math]}$ ，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段 $\text{[math]}$ 的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒

（1）求B，C两点坐标；

（2）求 $\text{[math]}$ 的面积S关于t的函数关系式；

（3）当点D关于OP的对称点E落在x轴上时，请直接写出点E的坐标，并求出此时的t值．

解答题普通

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P从点A沿 $\text{[math]}$ 向点B以 $\text{[math]}$ 的速度移动，同时点Q从点B沿 $\text{[math]}$ 边向点C以 $\text{[math]}$ 的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为 $\text{[math]}$ ，求：

(1) 当x为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形；

(2) 当x为何值时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；

(3) 当x为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形．

解答题困难