游乐场的过山车在圆轨道上运行过程如图甲所示。其简化模型如图乙所示：弧形轨道的下端与竖直圆轨道平滑相接，为圆轨道的最高点。使小球（可视为质点）从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。不考虑小球运动所受的摩擦和空气阻力。已知重力加速度，圆形轨道的半径为，将一质量为的小球A，从弧形轨道距地面高的处由静止释放。

1. 游乐场的过山车在圆轨道上运行过程如图甲所示。其简化模型如图乙所示：弧形轨道的下端 $\text{[math]}$ 与竖直圆轨道平滑相接， $\text{[math]}$ 为圆轨道的最高点。使小球（可视为质点）从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。不考虑小球运动所受的摩擦和空气阻力。已知重力加速度 $\text{[math]}$ ，圆形轨道的半径为 $\text{[math]}$ ，将一质量为 $\text{[math]}$ 的小球A，从弧形轨道距地面高 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处由静止释放。

(1) 求小球 $\text{[math]}$ 通过最低点时受到轨道的支持力；

(2) 请通过分析计算，说明小球 $\text{[math]}$ 能否通过圆轨道的最高点 $\text{[math]}$ ；

(3) 如果在弧形轨道的下端 $\text{[math]}$ 处静置另一个质量为 $\text{[math]}$ 的小球B。现改变小球A释放的高度，从弧形轨道某一位置处由静止释放，两小球将发生弹性正碰，若碰撞后要使被碰小球B能通过圆轨道的最高点 $\text{[math]}$ ，请通过分析计算，试问小球A释放时距地面的高度 $\text{[math]}$ 的最小值为多少？

【考点】

机械能守恒定律; 碰撞模型;

【答案】

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解答题困难

1. 如图所示，一质量m_B=3kg、长 $\text{[math]}$ 的长木板B静止放置于光滑水平面上，其左端紧靠一半径 $\text{[math]}$ 的光滑固定圆弧轨道，但不粘连。圆弧轨道左端点P与圆心O的连线PO与竖直方向夹角为60°，其右端最低点处与长木板B上表面相切。距离木板B右端 $\text{[math]}$ 处有一与木板等高的固定平台，平台上表面光滑，其上放置有质量m_D=1kg的滑块D，平台上方有一固定水平光滑细杆，其上穿有一质量m_C=2kg的滑块C，滑块C与D通过一轻弹簧连接，开始时弹簧原长，且处于竖直方向。一质量m_A=1kg的滑块A从P点由静止开始沿圆弧轨道下滑。A下滑至圆弧轨道最低点并滑上木板B，带动B向右运动，B与平台碰撞后即粘在一起不再运动。A随后继续向右运动，滑上平台，与滑块D碰撞并粘在一起向右运动。A、D组合体在随后运动过程中一直没有离开平台，且C没有滑离细杆。A与木板B间动摩擦因数为 $\text{[math]}$ 。忽略所有滑块大小及空气阻力的影响。重力加速度g取 $\text{[math]}$ ，求：

(1) 滑块A到达圆弧最低点时对轨道压力的大小；

(2) 滑块A滑上平台时速度的大小；

(3) 随后运动过程中，弹簧的最大弹性势能是多大？

解答题困难

2. 如图所示，内壁粗糙、半径 $\text{[math]}$ 的四分之一圆弧轨道AB在最低点B与足够长光滑水平轨道BC相切。质量 $\text{[math]}$ 的小球b左端连接一轻质弹簧，静止在光滑水平轨道上，另一质量 $\text{[math]}$ 的小球a自圆弧轨道顶端由静止释放，运动到圆弧轨道最低点B时，对轨道的压力为小球a重力的两倍。忽略空气阻力，重力加速度g取 $\text{[math]}$ 。

(1) 求小球a由A点运动到B点的过程中，摩擦力做功 $\text{[math]}$ 。

(2) 求小球a通过弹簧与小球b相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能 $\text{[math]}$ ；

(3) 求小球a通过弹簧与小球b相互作用的整个过程中，弹簧对小球b的冲量I的大小。

解答题普通

3. 某研究小组受多级火箭启发，用单级弹射装置组合成“二级弹射装置”。每个单级弹射装置由轻质弹簧和质量为m的物块构成，如图（甲）所示。单级弹射装置竖直弹射高度为h。把2个单级弹射装置叠放起来组成二级弹射装置，如图（乙）。先释放弹射装置1，当整体上升到最大高度时触发弹射装置2，此时装置1向下弹离掉落，装置2获得向上速度，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

(1) 装置1释放后整体上升的最大高度h₁；

(2) 装置2触发后瞬间装置1的速度大小v₁；

(3) 装置2能上升的最大高度h₂；

解答题普通