已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．

1. 已知两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．

(1) 求曲线C的方程；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

①证明： $\text{[math]}$ 为定值；

②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

【考点】

双曲线的标准方程; 双曲线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求C的方程；

(2) 设P，M，N三点在C的右支上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：

（ⅰ）存在常数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ） $\text{[math]}$ 的面积为定值．

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上异于左、右顶点的一个动点，双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小内角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程．

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，交双曲线于另一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交双曲线于另一点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ 为定值；

②若直线AB的斜率为−1，求点P的坐标．

解答题困难

3. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，右焦点F为 $\text{[math]}$ ，左顶点为A

(1) 求双曲线C的方程

(2) 动直线 $\text{[math]}$ 交双曲线C于M，N两点，求证： $\text{[math]}$ 的垂心在双曲线C上．

解答题困难