甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.

1. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 $\text{[math]}$ ，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为 $\text{[math]}$ .记甲乙两人的答题总次数为 $\text{[math]}$ .

(1) 求p；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求甲得分X的分布列及数学期望；

(3) 若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

【考点】

离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差; 条件概率;

【答案】

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解答题普通

1. 已知某闯关游戏，第一关在 $\text{[math]}$ 两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束． $\text{[math]}$ 情境寻宝成功获得经验值2分，否则得0分； $\text{[math]}$ 情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分．已知某玩家在 $\text{[math]}$ 情境中寻宝成功的概率为0.8，在 $\text{[math]}$ 情境中寻宝成功的概率为0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．

(1) 若该玩家选择从 $\text{[math]}$ 情境开始第一关，记 $\text{[math]}$ 为经验值累计得分，求 $\text{[math]}$ 的分布列；

(2) 为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．

解答题普通

2. 中国进出口商品交易会，简称广交会，是由中国商务部和广东省人民政府共同主办、中国对外贸易中心承办，创办于1957年4月25日，每年春秋两季在广州举办。为调查广州地区大学生对广交会举办的了解情况，从广州各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表，

	男	女	总计
了解	80
不了解		160
总计		200	400

(1) 完成上述2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为广州地区大学生对广交会举办的了解情况与性别有关；

(2) 据调查，广州某高校学生会宣传部6人中有3人了解广交会情况，现从这6人中随机抽取4人参加2024年广交会志愿服务，设抽取的人中了解广交会的人数为X ，求X的分布列与期望，

参考公式： $\text{[math]}$

参考数据：

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

解答题普通

3. 梅州是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人．

(1) 请根据以上数据填写下面 $\text{[math]}$ 列联表，并依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？

	满意	不满意	合计
工薪族
非工薪族
合计

(2) 用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过 $\text{[math]}$ ，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到 $\text{[math]}$ 时，抽样结束．记此时抽样次数为 $\text{[math]}$ ．

①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

②请写出 $\text{[math]}$ 的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明 $\text{[math]}$ 的数学期望的实际意义．

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.005
$\text{[math]}$	3.841	6.635	7.879

附：参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

解答题困难