对于平面直角坐标系中的图形，直线和点，给出如下定义：先将图形沿直线对称后再将其绕点顺时针旋转，称该变换为类变换；先将图形绕点顺时针旋转再沿直线对称，称该变换为类变换；其中，称直线为“变换直线”，称点为“变换点”．

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1. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的图形 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：先将图形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对称后再将其绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，称该变换为 $\text{[math]}$ 类变换；先将图形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 再沿直线 $\text{[math]}$ 对称，称该变换为 $\text{[math]}$ 类变换；其中，称直线 $\text{[math]}$ 为“变换直线”，称点 $\text{[math]}$ 为“变换点”．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，若“变换直线”为 $\text{[math]}$ 轴，“变换点”为 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 中，在线段 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 类变换后得到的图形上的点有________；

(2) 若“变换直线”为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 类变换后与自身重合，求“变换点”的坐标；

(3) 若“变换直线”为 $\text{[math]}$ ， “变换点”为 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心作半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 轴上存在点作 $\text{[math]}$ 类变换和 $\text{[math]}$ 变换后所得点都在 $\text{[math]}$ 内，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

勾股定理; 切线的性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知长方形 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某一时刻，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动；同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动，问：

(1) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ？

(2) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的面积等于长方形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？

解答题普通

2. 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．

【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④

【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取 $\text{[math]}$ 的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面 $\text{[math]}$ 与地面距离为 $\text{[math]}$ ，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ $\text{[math]}$ 时可将凳高调整为 $\text{[math]}$ ．

【驱动任务三】

根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长的木棒恰好能截成 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则成品桌子的高度 $\text{[math]}$ 为________ $\text{[math]}$ ．