已知函数．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 导数在最大值、最小值问题中的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

(2) 若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 有三个零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列.

(3) 证明： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.

解答题困难

3. 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ .给定闭区间 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得对于任意 $\text{[math]}$ ，

①均有 $\text{[math]}$ ，则记 $\text{[math]}$ ；

②均有 $\text{[math]}$ ，则记 $\text{[math]}$ .

(1) 设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ .若对于任意 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 已知对于任意 $\text{[math]}$ ⫋ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均存在.证明：“ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的 $\text{[math]}$ ⫋ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中至少一个成立”.

解答题困难