鹿鸣学堂兴趣小组进行一次科学实验探究活动，图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆cm，cm，O、P两点间距与长度相等．当绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3），此时点P到的距离为144cm．

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1. 鹿鸣学堂兴趣小组进行一次科学实验探究活动，图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆 $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ cm，O、P两点间距与 $\text{[math]}$ 长度相等．当 $\text{[math]}$ 绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段 $\text{[math]}$ 上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3），此时点P到 $\text{[math]}$ 的距离为144cm．

(1) 直接判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否一定垂直：（填“是”或“不是”）；

(2) 求O、P两点间的距离；

(3) 当点P，O，A在同一直线上时，求点Q到 $\text{[math]}$ 的距离．

【考点】

等腰三角形的性质; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 线段垂直平分线的判定;

【答案】

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解答题普通

1. 利用图形的构造可以有效解决代数问题，对于如下的函数 $\text{[math]}$ 可以转化为这样的一个几何图形，其中 $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值，和此时 $\text{[math]}$ 的值

解答题普通

2. 如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别从 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点同时出发，其中点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动，速度为 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动，速度为 $\text{[math]}$ ，设它们的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相似．

解答题普通

3. 【定义新知】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，点D、E分别在直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“勾股线”．

【初步探究】

（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中，若点D，E分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ 的“勾股线”；（填“是”或“不是”）

（2）如图2，已知 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“勾股线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【问题解决】

（3）碳纤维板是将同一方向排列的碳素纤维使用树脂浸润硬化形成碳纤维板材，在多个领域都有应用，常用的有宇航、体育器材、工业、消防等．如图3，四边形 $\text{[math]}$ 是某机械厂的一块碳纤维板， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“勾股线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长．工人王师傅想要以 $\text{[math]}$ 为直角边、点F为直角顶点在这块碳纤维板中裁出一块直角三角形的部件 $\text{[math]}$ （点N在 $\text{[math]}$ 上）．

王师傅作法如下：在 $\text{[math]}$ 上确定一点M，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 即为所裁部件．判断王师傅裁出的 $\text{[math]}$ 部件是否符合要求（即 $\text{[math]}$ 是否是以点F为直角顶点的直角三角形），若符合要求，请你求出 $\text{[math]}$ 的值；若不符合要求，请说明理由，

解答题普通