已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结．

1. 已知如图1，二次函数 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点A、B的坐标；

(2) 如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均在抛物线上，求m，n的值；

(3) 如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结 $\text{[math]}$ ，过P作 $\text{[math]}$ ，与抛物线另一个交点为Q，M，N为 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴．

①当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求点P的坐标；

②是否存在点P使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相互平分，若存在，求 $\text{[math]}$ 的长，若不存在，说明理由．

【考点】

勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 二次函数-面积问题; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知长方形 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某一时刻，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动；同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动，问：

(1) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ？

(2) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的面积等于长方形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？

解答题普通

2. 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．

【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④

【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取 $\text{[math]}$ 的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面 $\text{[math]}$ 与地面距离为 $\text{[math]}$ ，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ $\text{[math]}$ 时可将凳高调整为 $\text{[math]}$ ．

【驱动任务三】

根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长的木棒恰好能截成 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则成品桌子的高度 $\text{[math]}$ 为________ $\text{[math]}$ ．