在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G．

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1. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ （b为常数）经过点 $\text{[math]}$ ．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G．

(1) 求该抛物线的函数表达式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求图象G的最大值和最小值；

(3) 当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，求m的取值范围；

(4) 连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为对角线构造矩形 $\text{[math]}$ ，且矩形的各边与坐标轴垂直，矩形 $\text{[math]}$ 的边与图象交于点D（不同于点A、P），当点D是矩形 $\text{[math]}$ 的边的中点时，直接写出m的值．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （m为常数）．

(1) 若函数图象经过点 $\text{[math]}$ ，求二次函数的表达式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，y有最大值为 $\text{[math]}$ ，求m的值；

(3) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在该函数的图象上，当 $\text{[math]}$ 时，求m的取值范围．

解答题普通

2. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等都是“三倍点”．已知二次函数 $\text{[math]}$ （c为常数）．

(1) 若该函数经过点 $\text{[math]}$ ，求该函数解析式；

(2) 在（1）的条件下，①求出该图象上的“三倍点”坐标；②当 $\text{[math]}$ 时，求出该函数的最小值；

(3) 在 $\text{[math]}$ 的范围内，若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围．

解答题困难

3. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 图象的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，求m的值及图象的顶点坐标．

解答题普通