如图，平面直角坐标系中矩形两边、分别在轴和轴上，其中，，又、分别是边、上的动点，它们分别同时从、出发在边上匀速运动，点每秒运动2个单位，点每秒运动1个单位，其中一个动点到达端点则两动点立即停止运动．

1. 如图，平面直角坐标系中矩形 $\text{[math]}$ 两边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴上，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，它们分别同时从 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 出发在边上匀速运动， $\text{[math]}$ 点每秒运动2个单位， $\text{[math]}$ 点每秒运动1个单位，其中一个动点到达端点则两动点立即停止运动．

(1) 当 $\text{[math]}$ 点运动到 $\text{[math]}$ 的中点时，求此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

①求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；

②写求当 $\text{[math]}$ 何值时， $\text{[math]}$ 等于矩形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？

(3) 若M为坐标平面内一点，在P、Q运动的过程中是否存在M使以A、P、Q和M为顶点的四边形是矩形．若存在直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】

公式法解一元二次方程; 坐标与图形性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 解方程： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 将平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中的最大值为点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的“联络量”，记作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．

如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的横、纵坐标都是整数．

(1) ①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有；

②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为　　　　；

(2) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 上的任一点 $\text{[math]}$ 均满足将点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 解方程： $\text{[math]}$ .

解答题普通