已知函数．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域；

(2) 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 恰有三个不等实根 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值，并求出此时实数 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

函数单调性的性质; 函数的最大（小）值; 奇偶函数图象的对称性; 二倍角的余弦公式;

【答案】

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解答题困难

1. 我们知道，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数．已知 $\text{[math]}$ ．

(1) 利用上述结论，证明： $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 成中心对称图形；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 的单调性（无需证明），并解关于x的不等式 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

(1) 求二次函数y＝2x²﹣3x+5在﹣2≤x≤2上的最大值和最小值，并求对应的x的值．

(2) 已知函数y＝x²+2ax+1在﹣1≤x≤2上的最大值为4，求a的值．

解答题普通

3. 对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当 $\text{[math]}$ 时：若恒有 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称；若恒有 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称；②函数 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 必为偶函数；若函数 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ 必为奇函数；③三次函数 $\text{[math]}$ 一定有对称中心；四次函数 $\text{[math]}$ 不一定有与 $\text{[math]}$ 轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：

(1) 求三次函数 $\text{[math]}$ 的对称中心；

(2) 若四次函数 $\text{[math]}$ 有垂直于 $\text{[math]}$ 轴的对称轴，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通