给出如下n个平方数：，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为．

1. 给出如下n个平方数： $\text{[math]}$ ，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，试设计一种可行方案使得 $\text{[math]}$ 最小．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，试设计一种可行方案使得 $\text{[math]}$ 最小．

【考点】

探索数与式的规律; 有理数的乘方法则;

【答案】

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解答题普通

1. 我们已知道： $\text{[math]}$ ，

事实上： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）成立，

故有：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 成立．

由以上结论填写下列代数式结果：

(1) $\text{[math]}$ __________；

(2) $\text{[math]}$ ___________；

(3) $\text{[math]}$ ____．

解答题困难

2. 如图，1~5号正方形边长分别为1，2，3，4，5，可得出以下规律：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

……

根据以上规律，解答下列问题：

(1) $\text{[math]}$

(2) $\text{[math]}$ （用含n的式子表示，需化简）

(3) 求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. “杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．

(1) 求图1中第8行第5个数是__________；

(2) 求图1中前100行所有的数字之和；

(3) “杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通