如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．

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1. 如图，抛物线y=ax²+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1， $\text{[math]}$ ），点B（3，﹣ $\text{[math]}$ ），O为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；

（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数图象与坐标轴的交点问题;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

换一批

1. 抛物线顶点坐标是 $\text{[math]}$ 且经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．

解答题容易

2. 已知二次函数图象的顶点坐标是 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，求该二次函数的解析式．

解答题容易

3. 若抛物线 $\text{[math]}$ （a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为．

填空题容易

1. 设二次函数 $\text{[math]}$ （b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．

(1) 若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数 $\text{[math]}$ 的表达式及其图像的对称轴．

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 的表达式可以写成 $\text{[math]}$ （h是常数）的形式，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

(3) 设一次函数 $\text{[math]}$ （m是常数）．若函数 $\text{[math]}$ 的表达式还可以写成 $\text{[math]}$ 的形式，当函数 $\text{[math]}$ 的图像经过点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 求a，b的值；

(2) 如图1，连接AB，点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点K，过点K作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点E，求 $\text{[math]}$ 的最大值并求出此时点P的坐标；

(3) 如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接 $\text{[math]}$ ，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y^'恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 若抛物线经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点时，求抛物线的解析式；

(2) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出结果m的取值范围；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值．

解答题普通

1. 下表是一个二次函数的自变量 $\text{[math]}$ 与函数值 $\text{[math]}$ 的4组对应值：

$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	1	2	4	…
$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	3	5	3	…

则下列说法正确的是（）

A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象与 $\text{[math]}$ 轴无交点 C. 函数的最大值为5 D. 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值随 $\text{[math]}$ 值的增大而减小

单选题普通

2. 设抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ．若抛物线 $\text{[math]}$ 上横坐标与纵坐标相等的点也在抛物线 $\text{[math]}$ 上，则直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 轴的位置关系是（）

A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 可能平行，也可能垂直

单选题困难

3. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．．．．，都是“相反点”，若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上有且只有一个“相反点” $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，二次函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，最大值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为

填空题普通

1. 函数有解析式法，列表法，图象法三种表示方法，它们都有各自明显的优点，有些函数三种表示方法都适用，可以通过三种表示方法研究函数的性质．而对于未知的函数可以通过“列表一描点一连线”的方法画出图象，观察图象，并探究该函数的性质．

南南想探究函数 $\text{[math]}$ 下表给出了该函数中y与x的一些对应值．

点(x，y)		A	B	C	D	E
x	---	$\text{[math]}$	0	1	2	3
y		0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0

(1) 请根据列表数据求该函数解析式，并判断该函数是什么函数；

(2) 请在平面直角坐标系中根据列表画出该函数图象(在图中标出点A，B，E三点)，图象是，开口向，对称轴为直线；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，x的取值范围是；

(4) 该函数在第四象限内的图象上是否存在点 M，使得四边形 $\text{[math]}$ 面积最大，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．

(1) 该函数图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，若点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，

①则 $\text{[math]}$ 的值是_________，点 $\text{[math]}$ 的坐标是_________；

②当 $\text{[math]}$ 时，借助图像，求自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 对于一切实数 $\text{[math]}$ ，若函数值 $\text{[math]}$ 总成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时（其中 $\text{[math]}$ 为实数， $\text{[math]}$ ），自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值以及 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的甲辰龙年．若抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 恰好是直角三角形，并满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），则称抛物线 $\text{[math]}$ 是“龘龘欣欣抛物线”，其中较短直角边所在直线为“龘龘线”，较长直角边所在直线为“欣欣线”．

(1) 若“龘龘欣欣抛物线” $\text{[math]}$ 的“龘龘线”为直线 $\text{[math]}$ ，求抛物线解析式；

(2) 已知“龘龘欣欣拋物线” $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，其“欣欣线”与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象仅有一个交点，求反比例函数解析式；

(3) 已知“龘龘欣欣抛物线” $\text{[math]}$ 的“龘龘线”“欣欣线”及 $\text{[math]}$ 轴围成的三角形面积 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难