A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕某一星球做匀速圆周运动，测得它们之间的距离随时间t变化的关系如图所示。已知该星球的半径r，周期T，万有引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力。求：

1. A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕某一星球做匀速圆周运动，测得它们之间的距离 $\text{[math]}$ 随时间t变化的关系如图所示。已知该星球的半径r，周期T，万有引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力。求：

(1) A、B两颗卫星绕该星球做匀速圆周运动的轨道半径：

(2) 该星球的质量；

(3) 该星球的第一宇宙速度。

【考点】

万有引力定律; 卫星问题;

【答案】

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解答题普通

1. 万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。

(1) 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同。已知地球质量为 $\text{[math]}$ ，自转周期为 $\text{[math]}$ ，万有引力常量为 $\text{[math]}$ ，求地球同步卫星的轨道半径 $\text{[math]}$ 。

(2) 由于地球自转的影响，在地球表面不同的地方，物体的重量会随纬度的变化而有所不同。将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。用弹簧秤称量一个相对于地面静止的小物体的重量，设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 $\text{[math]}$ ；在赤道地面称量时，弹簧秤的读数是 $\text{[math]}$ 。

a.求在赤道地面，小物体随地球自转的向心力大小 $\text{[math]}$ ；

b.求在纬度为 $\text{[math]}$ 的地面称量时，弹簧秤的读数 $\text{[math]}$ 。

解答题普通

2. 2024年8月6日，千帆星座首批18颗商业组网卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若其中一颗卫星离地高度为 $\text{[math]}$ ，该卫星运行轨迹与赤道共面。已知地球半径为 $\text{[math]}$ ，自转周期为 $\text{[math]}$ （一天），地球表面重力加速度大小为 $\text{[math]}$ ，引力常量为 $\text{[math]}$ ，不计地球自转对地球表面重力加速度的影响。求：

(1) 地球的质量 $\text{[math]}$ ；

(2) 一天内该卫星绕地球运行的圈数 $\text{[math]}$ ；

(3) 该卫星离地球同步卫星的最远距离 $\text{[math]}$ 。

解答题普通

3. 宇航员乘坐航天飞船绕某星体做匀速圆周运动，已知环绕周期为T，星体半径为R，星体表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑星体自转的影响，星体的体积 $\text{[math]}$ 。求：

(1) 星体密度；

(2) 航天飞船在轨运行时的线速度大小。

解答题普通