2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下406010050岁以上（含50）2575100合计65135200

1. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：

年龄	周平均锻炼时长		合计
年龄	周平均锻炼时间少于4小时	周平均锻炼时间不少于4小时	合计
50岁以下	40	60	100
50岁以上（含50）	25	75	100
合计	65	135	200

(1) 试根据 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？ $\text{[math]}$ 精确到0.001 $\text{[math]}$ ；

(2) 现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

参考公式及数据： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

【考点】

实际推断原理和假设检验; 离散型随机变量及其分布列;

【答案】

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解答题普通

1. 摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利 $\text{[math]}$ 已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时 $\text{[math]}$ 包含1小时 $\text{[math]}$ 是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元 $\text{[math]}$ 不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行 $\text{[math]}$ 小时收费为2元 $\text{[math]}$ 现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次 $\text{[math]}$ 设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；两人用车时间都不会超过3小时．

$\text{[math]}$ 1 $\text{[math]}$ 求甲乙两人所付的车费相同的概率；

解答题普通

2. 某风景区水面游览中心计划国庆节当日投入之多3艘游船供游客观光，过去10年的数据资料显示每年国庆节当日客流量X（单位：万人）都大于1，并把客流量分成三段整理得下表：

国庆节当日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
频数	2	4	4

以这10年的数据资料记录的隔断客流量的频率作为每年客流量在隔断发生的概率，且每年国庆节当日客流量相互独立．

(1) 求未来连续3年国庆节当日中，恰好有1年国庆节当日客流量超过5万人的概率；

(2) 该水面游览中心希望投入的游船尽可能使用，但每年国庆节当日游船最多使用量：（单位：艘）受当日客流量X（单位：万人）的限制，其关联关系如下表：

国庆节当日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
游船最多使用量	1	2	3

若某艘游船国庆节当日使用，则水面游览中心国庆节当日可获得利润3万元，若某艘游船国庆节当日不使用，则水面游览中心国庆节当日亏损0.5万元，记Y（单位：万元）表示该水面游览中心国庆节当日获得总利润，当Y的数学期望最大时称水面游览中心在国庆节当日效益最佳，问该水面游览中心的国庆节当日应投入多少艘游船才能使该水面游览中心在国庆节当日效益最佳？

解答题普通

3. 甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判．设各局比赛双方获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判

(1) 求第四局甲队当裁判的概率；

(2) 用X表示前四局中乙队当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

解答题普通