如图，已知直三棱柱中，且，、、分别为、、的中点，为线段上一动点.

1. 如图，已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一动点.

(1) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值；

(2) 证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 求锐二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值的最大值.

【考点】

直线与平面所成的角; 用空间向量研究直线与直线的位置关系; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题困难

1. 如图所示的多面体由三棱锥 $\text{[math]}$ 与四棱锥 $\text{[math]}$ 对接而成，其中 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ，

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

解答题普通

2. 在如图所示的多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为60°， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点（不含端点），试探究 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.

解答题普通

3. 如图，在直棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E，F分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ .

(2) 当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积取得最大值时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.

解答题困难