如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A在y轴上，，，抛物线过点A．

1. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，等腰 $\text{[math]}$ 的顶点A在y轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 过点A．

(1) 用含b的代数式表示顶点坐标

(2) 若点O关于 $\text{[math]}$ 中点的中心对称点也恰好在抛物线 $\text{[math]}$ 上，求：抛物线的顶点坐标

(3) 若将 $\text{[math]}$ 绕点A按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，求：抛物线的解析式．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．设抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 平移得到抛物线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式．

(3) 设（2）中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴左侧的部分与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴右侧的部分组成的新图象记为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，与图象 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，如图3．

①过 $\text{[math]}$ 的最高点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），求 $\text{[math]}$ 的值；

② $\text{[math]}$ 是图象 $\text{[math]}$ 上一个动点，当点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的距离小于4时，直接写出点 $\text{[math]}$ 横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 当抛物线过点 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的表达式；

(2) 求这个二次函数的对称轴（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 若抛物线上存在两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 的图像经过点 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图像上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通