现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

1. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 $\text{[math]}$ ，下部的形状是正四棱柱 $\text{[math]}$ (如图所示)，并要求正四棱柱的高 $\text{[math]}$ 是正四棱锥的高 $\text{[math]}$ 的4倍.

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则仓库的容积是多少？

(2) 若正四棱锥的侧棱长为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

【考点】

棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用; 二次函数模型; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.如图1，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积.

解答题普通

2. 如图1，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）．

(1) 若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且 $\text{[math]}$ ，求该四棱锥的侧面积和表面积．

解答题普通