已知函数的图象恒过定点，其中且．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象恒过定点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的值，并研究函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性；

(2) 函数 $\text{[math]}$ ，关于x的方程 $\text{[math]}$ 恰有唯一解，求实数 $\text{[math]}$ 的范围．

【考点】

函数的奇偶性; 对数函数的图象与性质; 函数与方程的综合运用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是奇函数，求 $\text{[math]}$ 的值，并证明；

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内恰有两个不同解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

2. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域为区间 $\text{[math]}$ ，试问是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使得区间 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出所有 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由（注：区间 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ）.

解答题普通