如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．

1. 如图1所示，边长为 $\text{[math]}$ 的正方形中有一个边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为 $\text{[math]}$ ，图2中阴影部分面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 请直接用含 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ________， $\text{[math]}$ ________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）．

(2) 应用公式计算： $\text{[math]}$

(3) 应用公式计算： $\text{[math]}$

【考点】

平方差公式及应用; 平方差公式的几何背景; 因式分解的应用;

【答案】

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计算题普通

1. 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形．

(1) 分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是　　．

A． $\text{[math]}$

B． $\text{[math]}$

C． $\text{[math]}$

D． $\text{[math]}$

(2) 应用这个公式完成下列各题．

①已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②计算： $\text{[math]}$ ．

计算题普通

2. 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．

(1) 通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是：　　．

(2) 小明在计算（2+1）（2²+1）（2⁴+1）时利用了（1）中的公式：

（2+1）（2²﹣1）（2⁴+1）

＝1•（2+1）（2²+1）（2⁴+1）

＝　　．

（请你将以上过程补充完整．）

(3) 利用以上的结论和方法、计算： $\text{[math]}$ +（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）．

计算题普通

3. 综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形：

(1) 【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是；

(2) 【应用】利用（1）中的结论计算： $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展】利用（1）中的结论计算： $\text{[math]}$ ．

计算题普通