定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．

1. 定义在区间 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足：若对任意 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的“好函数”．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的“好函数”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(2) （ⅰ）证明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的“好函数”．

（ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

【考点】

函数单调性的性质; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 不等式的证明;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）.

(1) 讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 有两个零点分别为 $\text{[math]}$ .

①求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②求证： $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的增区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为0．

①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②若 $\text{[math]}$ 恒成立，求正整数 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

3. 函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难