某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．

1. 某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的 $\text{[math]}$ ，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．

(1) 为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；

(2) 经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为 $\text{[math]}$ ，标准差记为 $\text{[math]}$ ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？

附：若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【考点】

正态密度曲线的特点; 条件概率;

【答案】

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解答题普通

1. 统计学中有如下结论：若 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 的取值中随机抽取 $\text{[math]}$ 个数据，记这 $\text{[math]}$ 个数据的平均值为 $\text{[math]}$ ，则随机变量 $\text{[math]}$ ．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是 $\text{[math]}$ ，上下浮动不超过 $\text{[math]}$ ，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为 $\text{[math]}$ ，标准差为 $\text{[math]}$ 的正态分布．

(1) 假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值为 $\text{[math]}$ ，利用上述结论求 $\text{[math]}$ ；

(2) 希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在 $\text{[math]}$ 上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为 $\text{[math]}$ ，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．

附：①随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．

解答题普通

2. 某市举行招聘考试，共有 $\text{[math]}$ 人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试 $\text{[math]}$ 为了解考生的考试情况，随机抽取了 $\text{[math]}$ 名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．

(1) 根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；

(2) 若所有考生的初试成绩 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为样本平均数的估计值， $\text{[math]}$ ，试估计初试成绩不低于 $\text{[math]}$ 分的人数；

(3) 复试共三道题，第一题考生答对得 $\text{[math]}$ 分，答错得 $\text{[math]}$ 分，后两题考生每答对一道题得 $\text{[math]}$ 分，答错得 $\text{[math]}$ 分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩 $\text{[math]}$ 已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 $\text{[math]}$ ，后两题答对的概率均为 $\text{[math]}$ ，且每道题回答正确与否互不影响 $\text{[math]}$ 记该考生的复试成绩为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及均值．

附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 某市高二英语会考成绩X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，已知英语成绩不低于90分为及格.

附：若 $\text{[math]}$ ，则① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ .

(1) 求该市高二英语会考成绩的及格率（结果精确到0.01）；

(2) 若从该市参加高二英语会考的学生中任意选取100名，设Y为这100名学生中英语成绩及格的人数，利用（1）的结果，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通