在中，，为边上的中线，点在边上，设．

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的中线，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，设 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线，且点 $\text{[math]}$ 也在 $\text{[math]}$ 边上，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 最短？

【考点】

平面向量的数量积运算; 简单的三角恒等变换; 三角形中的几何计算;

【答案】

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解答题困难

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是 $\text{[math]}$ ，求：

(1) $\text{[math]}$

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$

解答题普通

2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 当实数 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直？

解答题普通

3. 如图，在平面斜坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，平面上任一点 $\text{[math]}$ 的斜坐标定义如下：若 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴同方向的单位向量），则点 $\text{[math]}$ 的斜坐标为 $\text{[math]}$ ．此时有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试在该斜坐标系下探究以下问题：

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求与 $\text{[math]}$ 垂直的单位向量的坐标．

解答题普通