设函数（其中常数，且）.

1. 设函数 $\text{[math]}$ （其中常数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）.

(1) 若常数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，解关于x的方程 $\text{[math]}$ ；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在最小值，且最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.

【考点】

指数型复合函数的性质及应用; 指数式与对数式的互化; 函数与方程的综合运用;

【答案】

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解答题困难

1. 在函数 $\text{[math]}$ 定义域内的某个区间 $\text{[math]}$ 上，任取两个自变量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的凹函数；若都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的凸函数．已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，判断函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的凹凸性，并证明你的结论；

(2) 若对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

2. 如果函数 $\text{[math]}$ 在定义域内存在区间 $\text{[math]}$ ，使得该函数在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是该定义域上的“和谐函数”.

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 是不是“和谐函数”，并说明理由；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 是“和谐函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有最小值1，最大值9.

(1) 求实数a，b的值；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数k的取值范围；

(3) 设 $\text{[math]}$ ），若函数 $\text{[math]}$ 有三个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难