学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…

1. 学习了线段的中点之后，小明利用数学软件 $\text{[math]}$ 做了n次取线段中点实验：如图，设线段 $\text{[math]}$ ，第1次，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ；第2次，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ；第3次，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，第4次，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ；…

(1) 请完成下列表格数据．

次数	$\text{[math]}$	线段 $\text{[math]}$ 的长
第1次	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
第2次	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
第3次	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
第4次	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
第5次	①______	②________
…	…	…

(2) 小明对线段 $\text{[math]}$ 的表达式进行了如下化简：

因为 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ ，

两式相加，得 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ ．

请你参考小明的化简方法，化简 $\text{[math]}$ 的表达式．

(3) 类比猜想： $\text{[math]}$ _____， $\text{[math]}$ =_____，随着取中点次数n的不断增大， $\text{[math]}$ 的长最终接近的值是____．

【考点】

探索数与式的规律; 线段的中点; 有理数混合运算法则（含乘方）;

【答案】

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解答题困难

1. 【核心素养】观察下面三行数：

$\text{[math]}$ ；①

$\text{[math]}$ ；②

$\text{[math]}$ ． ③

(1) 第①行的第 $\text{[math]}$ 个数是_____；

(2) 若第①行某列的数是 $\text{[math]}$ ，则第②行该列的数是_____．

(3) 取每行数的第7个数，计算这三个数的和．

解答题普通

2. 在数学兴趣活动中，小容为了求 $\text{[math]}$ 的值，写出下列解题过程．

解：设 $\text{[math]}$ ①

两边同乘以2得： $\text{[math]}$ ②

由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ．

(1) 应用结论：根据题目的结论，直接写出： $\text{[math]}$ _________；

(2) 模仿计算：请模仿题目中的算法计算： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为 $\text{[math]}$ ．如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示．

$\text{[math]}$

根据以上材料，解决下列问题：

(1) $\text{[math]}$ 的值为______， $\text{[math]}$ 的值为______；

(2) 如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二相加不变”．

①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；

②与23“模二相加不变”的两位数有______个．

解答题困难