已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．

1. 已知圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，圆心在直线 $\text{[math]}$ 上，截 $\text{[math]}$ 轴弦长为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若圆 $\text{[math]}$ 半径小于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在该圆上运动，点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的弦的中点，求 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

(3) 在（2）的条件下，若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 恒为定值．

【考点】

圆的标准方程; 轨迹方程; 直线与圆的位置关系;

【答案】

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解答题困难

1. 如图所示，有一个矩形坐标场地 $\text{[math]}$ （包含边界和内部， $\text{[math]}$ 为坐标原点）， $\text{[math]}$ 长为8米，在 $\text{[math]}$ 边上距离 $\text{[math]}$ 点4米的 $\text{[math]}$ 处放置一个行走仪，在距离 $\text{[math]}$ 点2米的 $\text{[math]}$ 处放置一个机器人，机器人行走速度为 $\text{[math]}$ ，行走仪行走速度为 $\text{[math]}$ ，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点 $\text{[math]}$ ，那么行走仪将被机器人捕获，称点 $\text{[math]}$ 叫捕获点.

(1) 求在这个矩形场地内捕获点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为矩形场地 $\text{[math]}$ 边上的一点，若行走仪在线段 $\text{[math]}$ 上都能逃脱，问： $\text{[math]}$ 点的位置应在何处？

解答题普通

2. 已知曲线C上任意一点到点 $\text{[math]}$ 的距离与到点 $\text{[math]}$ 的距离之比为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

(2) 过直线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 向曲线 $\text{[math]}$ 作切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，证明圆 $\text{[math]}$ 恒过定点，并求出所有定点的坐标．

解答题普通

3. 已知以点 $\text{[math]}$ 为圆心的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切．过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ '与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ '的方程．

解答题普通