已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，以椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 $\text{[math]}$ 且斜率存在的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程及离心率；

(2) 若直线BD的斜率为0，求t的值．

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在椭圆上.

(1) 求该椭圆的方程；

(2) 直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通

2. 我们把各边与椭圆 $\text{[math]}$ 的对称轴垂直或平行的 $\text{[math]}$ 的内接四边形叫做 $\text{[math]}$ 的内接矩形．如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个边长为1的内接正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的两个焦点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 设 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 内部的100个不同的点，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中至少有一个小于 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆有唯一的公共点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直的直线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．

解答题困难