我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的的内接四边形叫做的内接矩形．如图，已知四边形是的一个边长为1的内接正方形，，分别与轴交于，，且，为的两个焦点．

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1. 我们把各边与椭圆 $\text{[math]}$ 的对称轴垂直或平行的 $\text{[math]}$ 的内接四边形叫做 $\text{[math]}$ 的内接矩形．如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个边长为1的内接正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的两个焦点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 设 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 内部的100个不同的点，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中至少有一个小于 $\text{[math]}$ ．

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在椭圆上.

(1) 求该椭圆的方程；

(2) 直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，以椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 $\text{[math]}$ 且斜率存在的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程及离心率；

(2) 若直线BD的斜率为0，求t的值．

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆有唯一的公共点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直的直线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．

解答题困难