已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一条渐近线的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

【考点】

双曲线的标准方程; 双曲线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右顶点，过点 $\text{[math]}$ 的直线分别交双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右两支于 $\text{[math]}$ 两点，交双曲线 $\text{[math]}$ 的右支于点 $\text{[math]}$ （与点 $\text{[math]}$ 不重合），且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的周长之差为2.

(1) 求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 的右支于 $\text{[math]}$ 两点.

①记直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②试探究： $\text{[math]}$ 是否为定值？并说明理由.

解答题困难

2. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

(1) 求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 设 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难

3. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 $\text{[math]}$ . E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为 $\text{[math]}$ .

(1) 求双曲线C的标准方程；

(2) 过椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M ， N两点，且 $\text{[math]}$ ，是否存在m ， n使得椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.

解答题普通