已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与短轴的一个端点 $\text{[math]}$ 构成一个等腰直角三角形，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作互相垂直且与 $\text{[math]}$ 轴不重合的两直线 $\text{[math]}$ 分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 分别是弦 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点；

(3) 求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

【考点】

椭圆的定义; 椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 椭圆的应用; 直线与圆锥曲线的关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），过椭圆的右焦点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆上位于 $\text{[math]}$ 两侧的动点，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动时，始终保持 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值．

解答题普通

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线被椭圆 $\text{[math]}$ 截得的线段长为2，圆 $\text{[math]}$ 经过椭圆 $\text{[math]}$ 短轴顶点和两个焦点．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ .试问，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点到点 $\text{[math]}$ 的距离均相等？若存在，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

解答题普通