如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．

1. 如图，正四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面边长和高均为2，E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若点M是线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，判断点M是否在平面 $\text{[math]}$ 内，并证明你的结论；

(3) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

【考点】

用空间向量研究直线与直线的位置关系; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ．

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

解答题普通

2. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的长最小时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值

解答题普通

3. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为PC上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求AC的长；

(2) 若E为AC的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题普通