设函数.

1. 设函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值；

(2) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 只有一个零点.

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题困难

1. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率 $\text{[math]}$ .

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的曲率 $\text{[math]}$ 的平方；

(2) 求余弦曲线 $\text{[math]}$ 曲率 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 余弦曲线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上零点的个数，并写出证明过程.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的增区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为0．

①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②若 $\text{[math]}$ 恒成立，求正整数 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难