图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列作图：

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1. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段 $\text{[math]}$ 的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列作图：

(1) 如图1，请以线段 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰直角 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，请以线段 $\text{[math]}$ 为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，且使得腰长为有理数；

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 勾股定理的逆定理;

【答案】

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【来源】江西省萍乡市芦溪县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

作图题普通

1. 【综合与实践】

建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子 $\text{[math]}$ 上打13个等距的绳结，做成如图①所示的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案：

小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别绕绳结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将 $\text{[math]}$ 中点O固定，拉直 $\text{[math]}$ 绕点O旋转一定的角度（小于 $\text{[math]}$ ）到 $\text{[math]}$ 的位置，画出 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

问题解决：

(1) 填空：在小歌的方案中， $\text{[math]}$ 依据的一个数学定理是；

(2) 根据小智的方案，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档 $\text{[math]}$ 与竖档 $\text{[math]}$ 是否垂直．画出简图，并说明理由．

作图题普通

2. 如图，网格中小正方形的边长为1， $\text{[math]}$ （0，4）．

(1) 在图中标出点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离都相等；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 是三角形；

(3) 四边形 $\text{[math]}$ 的面积是．

作图题普通

3. 图 $\text{[math]}$ 、图 $\text{[math]}$ 均为 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在格点上，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 在图 $\text{[math]}$ 中以 $\text{[math]}$ 为腰画一个等腰三角形 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在格点上；

(2) 在图 $\text{[math]}$ 中以 $\text{[math]}$ 为底边画一个等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在格点上；

(3) 直接写出图 $\text{[math]}$ 中所画出的 $\text{[math]}$ 的面积为．

作图题普通